Hay una idea que ronda la cabeza de muchas personas, pero cuya formalización es particularmente difícil: la del infinito. Algunos creen que la finitud de nuestro cerebro es la que hace inalcanzable tal idea. Todo el mundo alguna vez pensó en un Universo infinito, o en que los números son infinitos, o que los puntos de la recta son infinitos. La pregunta que surgiría casi naturalmente es si todos esos infinitos son exactamente iguales, y fue lo que se planteó Georg Cantor a principios del siglo XIX.
Primero es interesante estudiar algunas propiedades de los números, especialmente cuando son infinitos. La idea de conjunto es bastante simple: se trata de objetos que se pueden colocar juntos, como dentro de una bolsa, y que son distinguibles uno del otro, aunque sea intelectualmente. Entonces uno puede tener un conjunto de personas, por ejemplo, o un conjunto de números. En particular interesan los conjuntos de números y dentro de estos se tienen algunos más relevantes:
- Números Naturales, representados por la letra
, formados por 1, 2, 3, 4, …
- Números Enteros, representados por la letra
, que incluyen a los naturales y agregan los negativos y el 0: … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, …
- Números Racionales, representados por la letra
, que incluyen a los anteriores y agregan todos los que se pueden escribir como una división: -4/5, 3/8, 1, 2, 8/3, 9/5, … Es importante destacar que cualquier número con coma, que presente una cierta periodicidad, por ejemplo 0,333333… 0,142857142857… pueden ser escritos en forma de división (1/3 y 1/7, en los ejemplos anteriores.)
- Números Reales, representados por la letra
, que incluyen a los anteriores y agregan todos los demás, por ejemplo
,
, etc. etc.
Como se puede ver, cada uno de los conjuntos de arriba es infinito, es decir que no puedo decir cuántos elementos tiene. Si alguien me dice que tal conjunto tiene n elementos, y me muestra una lista, yo siempre voy a poder encontrar un elemento “n+1“. Es interesante entonces ver cómo se trabaja con conjuntos que son infinitos; existe una historia conocida como “Hotel de Hilbert” que cuenta lo siguiente:
“Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: ‘ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi.’ El gerente encontró maravillosa esta solución y así lo hizo.
“Algunos días después llega otro huésped y pide de alojarse, a lo que le responden que el hotel estaba lleno, pero que no se preocupara, que sabían cómo solucionarlo. Entonces este huésped dice que había un problema, que él no estaba solo, sino con un grupo de amigos… y que era un grupo infinito. El gerente, otra vez consternado no sabía qué hacer, pero el huésped, también muy hábil le dice que no se preocupe, que mande al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De esa forma todas las habitaciones con números impares quedarían libres para sus infinitos amigos.”
Esta bonita historia, que si bien parece tirada de los pelos está mostrando 2 propiedades muy importantes de los conjuntos infinitos. Primero, que al agregar un elemento al conjunto infinito (primera parte de la historia) el infinito no se modifica. El hotel sigue siendo el mismo y con la misma cantidad de habitaciones. Lo mismo habría sucedido si se agregaban 10, 20, 30, … elementos (bastaba mandar al huésped de la habitación 1 a la 11, 21, 31, etc.) La segunda parte muestra que agregar infinitos elementos al conjunto tampoco modifica la cantidad total. Al mismo tiempo muestra algo muy peculiar, y es que la cantidad de habitaciones pares (o impares) en el hotel es la misma que la cantidad de habitaciones totales. En general uno estaría tentado a pensar que la parte es siempre menor que el todo, pero para un conjunto infinito esto estaría fallando. Es de aquí de donde surgieron las sospechas de Cantor, que llevaron a una teoría sobre los infinitos y a un desarrollo de la matemática verdaderamente sorprendente.
Algo que estamos muy acostumbrados a hacer es a contar. Cuando uno va al supermercado, por ejemplo, y compra 5 manzanas, cómo hizo para saber que eran 5? Simplemente colocó a cada una de las manzanas al lado de un número natural (en lenguaje técnico hizo una biyección entre los elementos de dos conjuntos) y se fijó cuál era el mayor. Este mismo método para contar lo podemos trasladar a conjuntos infinitos. Es decir que lo que intentaremos hacer es construir una relación entre los números naturales y los demás, demostrando de esa forma que hay tantos naturales cuanto enteros, etc. etc.
Es fácil ver (en el ejemplo del hotel) que hay tantos naturales como naturales pares, o naturales impares. Basta a cada natural n asignarle el número 2n+1 o 2n-1. De esa forma no quedará ni natural ni par (o impar) libre, cada uno estará ligado a otro. Con los enteros es el mismo caso, ya que basta ordenarlos de una manera inteligente para que se los pueda “contar”, por ejemplo:
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ….
De esa forma también podremos asignarle a cada natural un número entero y viceversa.
El siguiente conjunto a estudiar es el de los Racionales (
). A primera vista parecería sorprendente que este conjunto pudiera ser puesto en relación con los naturales. Simplemente basta pensar que entre 0 y 1 hay infinitos (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 2/3, 2/5, ….) pero también hay infinitos entre 0 y 0,1 o entre 0 y 0,001. De todas formas Cantor encontró una manera de relacionarlos y demostrar que “son la misma cantidad”.
Se puede hacer una tabla como la siguiente (click para agrandar):

y comenzar a contar. Si se barriera una fila (o una columna) no se acabaría nunca, ya que cada fila (y cada columna) son infinitamente largas, nunca se pasaría a la siguiente. Entonces el secreto está en contar en diagonal, como se puede ver en la figura; de esta manera se obtiene que cada número racional es barrido y por ende se le puede asignar un número natural correspondiente. El método es bastante sencillo al igual que riguroso. Así tenemos que los primeros 3 conjuntos son numerables es decir que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales. Veamos qué pasa entonces con los Reales.
Para trabajar con los Reales se usa una técnica que se llama Reducción al absurdo; generalmente se plantea una hipótesis y mediante deducciones lógicas de principios ya demostrados o de axiomas se deduce la veracidad de la afirmación. Por el contrario se podría plantear la anti-hipótesis y observar a qué conclusiones se llega. Si se llega a un absurdo quiere decir que la anti-hipótesis es falsa, por lo que la hipótesis es verdadera. Veamos eso en acción:
Supongamos que tenemos todos los números entre el 0 y el 1. Los escribimos en una lista, como se puede ver más abajo (a forma de ejemplificación. )
r1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0…
r2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3…
r3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6…
r4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6…
r5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6…
r6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8…
r7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5…
Ahora supongamos que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales, eso quiere decir que al primero le asignamos un 1, al segundo un 2, etc. Ahora es cuando llegaremos a un absurdo: podemos tomar de cada número de la lista y formar un nuevo número, de forma tal que el primer dígito sea diferente del primer dígito del número 1, el segundo diferente del segundo del número 2, etc. (números en negrita.) De esa forma construimos un número que no estaba en la lista, porque es diferente del primero, del segundo, del tercero… Pero que es parte de los números entre 0 y 1. Ahora, esto es un absurdo porque habíamos dicho que teníamos todos los números entre 0 y 1; este absurdo surge de suponer que se pueden poner en relación “1 a 1″ con los naturales, por lo que debemos concluir que los números reales “son más” que los naturales (y por ende que los enteros y los racionales también).
Se puede demostrar que existen conjuntos más grandes todavía que los reales, y más sorprendentemente, que no existen conjuntos entre los naturales y los reales. El desarrollo de este tipo de matemática llevó a grandes problemas y paradojas en la teoría de conjuntos que hasta entrado el siglo XX no pudieron ser resueltos.
Esto nos muestra que efectivamente existen infinitos más grandes que otros. En matemática es usual asignarle un nombre (o un símbolo) a estos tipos de infinitos; para los primeros (naturales, etc.) se usa el
mientras que para los reales se usa el
y se lo llama de cardinalidad de un conjunto; existen también
,
, etc. que indican conjuntos con una cardinalidad aún mayor. Estos números son conocidos como números transfinitos, es decir un número mayor que cualquier número natural y la idea fue introducida originalmente por Georg Cantor, el matemático que dio impulso a este tipo de razonamientos a principios del siglo XIX.
La próxima vez que se piense en infinitos, entonces, se deberá distinguir qué tipo de infinito es el que estamos imaginando.