Sólo Exactas

28may/080

La sucesión de Fibonacci

Hay una sucesión de números bastante conocida que es llamada de Sucesión de Fibonacci. Se popularizó bastante al aparecer en El Código Da Vinci, ya que eran los números que permitían abrir la caja fuerte de un banco, primer desafío con el que se encuentran los protagonistas. Esta sucesión también apareció en trabajos musicales, literarios y en otras películas, además de ser recurrente en la naturaleza, por ejemplo en la reproducción de parejas de conejos, la construcción de la colmena de las abejas o en el espiral de los caracoles. Es por todo esto que decidí dedicarle una pequeña revisión.

Reproducción de conejos
Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci describió la sucesión como la solución a un problema de cría de conejos, en un libro publicado en el año 1202, como se puede ver en la ilustración de arriba y como se describe a continuación:

"Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también"

Si bien Fibonacci fue uno de los primeros occidentales en escribir sobre esta sucesión de números, algunos matemáticos hindúes ya la habían descubierto. Un estudio más profundo de las propiedades (y el nombre) fue llevado a cabo por un matemático francés llamado Édouard Lucas, recién en la segunda mitad del siglo XIX. Es fácil ver que la cantidad de parejas de conejos aumenta siguiendo el siguiente patrón: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Se puede observar que cada término es la suma de los dos anteriores, por lo que denominando $f_n$ al término en la posición n-ésima se puede escribir la sucesión de la siguiente forma:

$f_{0} = 0$
$f_1 = 1$
$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$

Como vimos en el post sobre los infinitos, esta sucesión puede ser puesta en relación "1 a 1" con los naturales, por lo que obtenemos otra vez que la parte de un conjunto "es tan grande" cuanto el conjunto entero.

Veamos ahora qué pasa con el cociente entre 2 números consecutivos a medida que n se hace más grande. Podemos tomar (donde para pasar a la segunda igualdad simplemente usamos la definición de la sucesión):

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{f_{n}+f_{n-1}}{f_n} = \lim_{n\to\infty}1+\frac{f_{n-1}}{f_n}$ .

Es fácil ver que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{f_{n}}{f_{n-1}}$ ya que básicamente se trata de la misma cuenta. No importa si nos movemos de n a n-1 porque de cualquier forma estamos calculando el valor de un cociente para valores muy grandes de n (justamente el límite cuando tiende a infinito.) Llamando $a$ a ese límite tenemos la siguiente ecuación:

$a = 1 + \frac{1}{a}$ .
Si la resolvemos llegamos a:
$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi$ .

Este número es conocido como la razón áurea y seguramente merecerá un post para sí sola. Es un número irracional que se encuentra en la naturaleza, en las obras de arte, en la geometría, en los billetes de algunos paises, etc. etc.

Hay varias otras propiedades de los números de Fibonacci que pueden ser deducidas, dejo abajo un link con más información.

Más Información | Propiedades de la Sucesión (Wikipedia)

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19may/084

Infinitos más grandes que otros

Hay una idea que ronda la cabeza de muchas personas, pero cuya formalización es particularmente difícil: la del infinito. Algunos creen que la finitud de nuestro cerebro es la que hace inalcanzable tal idea. Todo el mundo alguna vez pensó en un Universo infinito, o en que los números son infinitos, o que los puntos de la recta son infinitos. La pregunta que surgiría casi naturalmente es si todos esos infinitos son exactamente iguales, y fue lo que se planteó Georg Cantor a principios del siglo XIX.

Primero es interesante estudiar algunas propiedades de los números, especialmente cuando son infinitos. La idea de conjunto es bastante simple: se trata de objetos que se pueden colocar juntos, como dentro de una bolsa, y que son distinguibles uno del otro, aunque sea intelectualmente. Entonces uno puede tener un conjunto de personas, por ejemplo, o un conjunto de números. En particular interesan los conjuntos de números y dentro de estos se tienen algunos más relevantes:

Números Naturales, representados por la letra $\mathbb{N}$ , formados por 1, 2, 3, 4, ...
Números Enteros, representados por la letra $\mathbb{Z}$ , que incluyen a los naturales y agregan los negativos y el 0: ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...
Números Racionales, representados por la letra $\mathbb{Q}$ , que incluyen a los anteriores y agregan todos los que se pueden escribir como una división: -4/5, 3/8, 1, 2, 8/3, 9/5, ... Es importante destacar que cualquier número con coma, que presente una cierta periodicidad, por ejemplo 0,333333... 0,142857142857... pueden ser escritos en forma de división (1/3 y 1/7, en los ejemplos anteriores.)
Números Reales, representados por la letra $\mathbb{R}$ , que incluyen a los anteriores y agregan todos los demás, por ejemplo $\sqrt{2}$ , $\pi$ , etc. etc.

Como se puede ver, cada uno de los conjuntos de arriba es infinito, es decir que no puedo decir cuántos elementos tiene. Si alguien me dice que tal conjunto tiene n elementos, y me muestra una lista, yo siempre voy a poder encontrar un elemento "n+1". Es interesante entonces ver cómo se trabaja con conjuntos que son infinitos; existe una historia conocida como "Hotel de Hilbert" que cuenta lo siguiente:

"Había un hotel que tenía infinitas habitaciones. Un día llega un nuevo huésped para alojarse allí, pero el conserje le dice que tenía mala suerte, que estaban todas llenas. El huésped, indignado llama al gerente, y le pregunta cómo era posible en un hotel con infinitas habitaciones. El gerente le da la razón, pero dice que no puede hacer nada, entonces el huésped responde rápidamente: 'ya se lo que se puede hacer; al que esté en la habitación 1 lo manda a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 3 y así sucesivamente, entonces la habitación 1 quedará libre para mi.' El gerente encontró maravillosa esta solución y así lo hizo.

"Algunos días después llega otro huésped y pide de alojarse, a lo que le responden que el hotel estaba lleno, pero que no se preocupara, que sabían cómo solucionarlo. Entonces este huésped dice que había un problema, que él no estaba solo, sino con un grupo de amigos... y que era un grupo infinito. El gerente, otra vez consternado no sabía qué hacer, pero el huésped, también muy hábil le dice que no se preocupe, que mande al de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y así sucesivamente. De esa forma todas las habitaciones con números impares quedarían libres para sus infinitos amigos."

Esta bonita historia, que si bien parece tirada de los pelos está mostrando 2 propiedades muy importantes de los conjuntos infinitos. Primero, que al agregar un elemento al conjunto infinito (primera parte de la historia) el infinito no se modifica. El hotel sigue siendo el mismo y con la misma cantidad de habitaciones. Lo mismo habría sucedido si se agregaban 10, 20, 30, ... elementos (bastaba mandar al huésped de la habitación 1 a la 11, 21, 31, etc.) La segunda parte muestra que agregar infinitos elementos al conjunto tampoco modifica la cantidad total. Al mismo tiempo muestra algo muy peculiar, y es que la cantidad de habitaciones pares (o impares) en el hotel es la misma que la cantidad de habitaciones totales. En general uno estaría tentado a pensar que la parte es siempre menor que el todo, pero para un conjunto infinito esto estaría fallando. Es de aquí de donde surgieron las sospechas de Cantor, que llevaron a una teoría sobre los infinitos y a un desarrollo de la matemática verdaderamente sorprendente.

Algo que estamos muy acostumbrados a hacer es a contar. Cuando uno va al supermercado, por ejemplo, y compra 5 manzanas, cómo hizo para saber que eran 5? Simplemente colocó a cada una de las manzanas al lado de un número natural (en lenguaje técnico hizo una biyección entre los elementos de dos conjuntos) y se fijó cuál era el mayor. Este mismo método para contar lo podemos trasladar a conjuntos infinitos. Es decir que lo que intentaremos hacer es construir una relación entre los números naturales y los demás, demostrando de esa forma que hay tantos naturales cuanto enteros, etc. etc.

Es fácil ver (en el ejemplo del hotel) que hay tantos naturales como naturales pares, o naturales impares. Basta a cada natural n asignarle el número 2n+1 o 2n-1. De esa forma no quedará ni natural ni par (o impar) libre, cada uno estará ligado a otro. Con los enteros es el mismo caso, ya que basta ordenarlos de una manera inteligente para que se los pueda "contar", por ejemplo:
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ....
De esa forma también podremos asignarle a cada natural un número entero y viceversa.

El siguiente conjunto a estudiar es el de los Racionales ( $\mathbb{Q}$ ). A primera vista parecería sorprendente que este conjunto pudiera ser puesto en relación con los naturales. Simplemente basta pensar que entre 0 y 1 hay infinitos (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 2/3, 2/5, ....) pero también hay infinitos entre 0 y 0,1 o entre 0 y 0,001. De todas formas Cantor encontró una manera de relacionarlos y demostrar que "son la misma cantidad".

Se puede hacer una tabla como la siguiente (click para agrandar):

y comenzar a contar. Si se barriera una fila (o una columna) no se acabaría nunca, ya que cada fila (y cada columna) son infinitamente largas, nunca se pasaría a la siguiente. Entonces el secreto está en contar en diagonal, como se puede ver en la figura; de esta manera se obtiene que cada número racional es barrido y por ende se le puede asignar un número natural correspondiente. El método es bastante sencillo al igual que riguroso. Así tenemos que los primeros 3 conjuntos son numerables es decir que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales. Veamos qué pasa entonces con los Reales.

Para trabajar con los Reales se usa una técnica que se llama Reducción al absurdo; generalmente se plantea una hipótesis y mediante deducciones lógicas de principios ya demostrados o de axiomas se deduce la veracidad de la afirmación. Por el contrario se podría plantear la anti-hipótesis y observar a qué conclusiones se llega. Si se llega a un absurdo quiere decir que la anti-hipótesis es falsa, por lo que la hipótesis es verdadera. Veamos eso en acción:

Supongamos que tenemos todos los números entre el 0 y el 1. Los escribimos en una lista, como se puede ver más abajo (a forma de ejemplificación. )

r₁ = 0. 5 1 0 5 1 1 0...
r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3...
r₃ = 0. 8 2 4 5 0 2 6...
r₄ = 0. 2 3 3 0 1 2 6...
r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6...
r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8...
r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5...

Ahora supongamos que se pueden poner en relación 1 a 1 con los naturales, eso quiere decir que al primero le asignamos un 1, al segundo un 2, etc. Ahora es cuando llegaremos a un absurdo: podemos tomar de cada número de la lista y formar un nuevo número, de forma tal que el primer dígito sea diferente del primer dígito del número 1, el segundo diferente del segundo del número 2, etc. (números en negrita.) De esa forma construimos un número que no estaba en la lista, porque es diferente del primero, del segundo, del tercero... Pero que es parte de los números entre 0 y 1. Ahora, esto es un absurdo porque habíamos dicho que teníamos todos los números entre 0 y 1; este absurdo surge de suponer que se pueden poner en relación "1 a 1" con los naturales, por lo que debemos concluir que los números reales "son más" que los naturales (y por ende que los enteros y los racionales también).

Se puede demostrar que existen conjuntos más grandes todavía que los reales, y más sorprendentemente, que no existen conjuntos entre los naturales y los reales. El desarrollo de este tipo de matemática llevó a grandes problemas y paradojas en la teoría de conjuntos que hasta entrado el siglo XX no pudieron ser resueltos.

Georg Cantor Esto nos muestra que efectivamente existen infinitos más grandes que otros. En matemática es usual asignarle un nombre (o un símbolo) a estos tipos de infinitos; para los primeros (naturales, etc.) se usa el $\aleph_0$ mientras que para los reales se usa el $\aleph_1$ y se lo llama de cardinalidad de un conjunto; existen también $\aleph_2$ , $\aleph_3$ , etc. que indican conjuntos con una cardinalidad aún mayor. Estos números son conocidos como números transfinitos, es decir un número mayor que cualquier número natural y la idea fue introducida originalmente por Georg Cantor, el matemático que dio impulso a este tipo de razonamientos a principios del siglo XIX.

La próxima vez que se piense en infinitos, entonces, se deberá distinguir qué tipo de infinito es el que estamos imaginando.

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14may/080

El Gato de Schrödinger

Gato-Schrödinger Seguramente en algún momento de la vida se escuchó mencionar al experimento del Gato de Schrödinger; también es muy probable que nunca se haya recibido una explicación satisfactoria de su significado y que haya permanecido como un misterio más de la ciencia. Sin embargo ese experimento pensado, bastante simple, da cuenta de la visión que la ciencia desarrolló de la realidad durante los primeros treinta o cuarenta años del siglo XX. La física cuántica, al contrario de la relatividad, a veces va contra preceptos tan instalados en la mente humana que hace muy difícil su divulgación y por eso quedan tantas preguntas siempre abiertas. A veces encarar la solución de un problema es el mejor método para aproximar una teoría muy rica y compleja sobre la cual miles de científicos están trabajando alrededor del mundo.

El experimento (pensado, en alemán gedankenexperiment) que se plantea es bastante sencillo: se pone a un gato dentro de una caja cerrada (no se puede ver para adentro) junto con un átomo que tiene una probabilidad del 50% de desintegrarse y matar al gato. La pregunta que surge entonces es si el gato está vivo o está muerto. Este problema, planteado aproximadamente en 1935 por Erwin Schrödinger mezcla algunos elementos de la física cuántica (la probabilidad de desintegrarse) con la realidad cotidiana: la vida o la muerte de un gato; de esta forma queda evidenciada una de las dificultades intelectuales más grandes y complicadas de explicar que tiene la física cuántica: el concepto de superposición.

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10nov/070

El MAS (3): Resolviendo la ecuación diferencial

Viene de este artículo

Ya sabemos entonces, que una de las soluciones para la ecuación diferencial $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-\sqrt{\frac{k}{m}}x$ es $A\cos(\omega t+\varphi)$ . Ahora veremos un modo más "elegante" de deducirla.

Primero, supongamos que se agrega un término más a la ecuación, una fuerza que sea proporcional a la velocidad, pero de sentido opuesto. Este tipo de fuerza es el que típicamente se encuentra cuando se estudia el rozamiento de un fluído (aire, agua, aceite, etc.) con un cuerpo. La ecuación a resolver quedaría, entonces:

$\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \frac{k}{m} x$
$\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \omega^2 x$

Sin entrar en detalles, se puede ver que lo más práctico es proponer una solución exponencial, y estar preparados para que las soluciones sean complejas (de esta forma se recupera el coseno de la resolución anterior.) Así que proponemos una solución de la forma $x(t)=Ae^{\alpha t}$ . Si reemplazamos en la ecuación diferencial, lo que obtenemos es:

$A\alpha^2 e^{\alpha t} + \gamma A \alpha e^{\alpha t} + \omega A e^{\alpha t} = 0$

En esta expresión se puede cancelar el término $A e^{\alpha t}$ por lo que queda lo que se denomina la ecuación característica de la ecuación diferencial:

$\alpha^2 + \gamma \alpha + \omega = 0$

Lo que se quiere despejar es $\alpha$ lo cual resulta muy sencillo y se obtiene:

$\displaystyle \alpha = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-4\omega^2}}{2}$

Es fácil ver que se pueden obtener 3 casos: cuando la raíz es un número real, cuando es 0 y cuando es un número imaginario. A estos 3 casos se los denomina: sobreamortiguado, amortiguamiento crítico y subamortiguado. En la próxima entrega estudiaremos cada uno de ellos.

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5nov/070

El MAS (2)

Siguiendo con lo que comencé en la última publicación, este artículo, y los próximos, se centrarán en la resolución de la siguiente ecuación diferencial:

$\displaystyle\frac{d^2x}{dx^2}=-\frac{k}{m}x$

Hay muchas maneras de encarar esta resolución, la primera es a ojo, para los que saben algo de derivadas; se tiene que pensar en lo que la ecuación está pidiendo: una función tal que si se la deriva dos veces, dá la misma función, cambiada de signo. Se puede pensar en una exponencial del tipo $e^{at}$ (con $a$ alguna constante) pero se ve que al derivar dos veces el signo no cambia (aunque se ponga $e^{-at}$ .)

Pensando un poco más, se llegará a las funciones trigonométricas: el seno y el coseno. Se puede ver que derivando dos veces $\cos (at)$ se obtiene $-a^2 \cos(at)$ . Por lo que fácilmente se puede ver que $a^2 = k/m$ .

En general a la constante $a$ se la escribe $\omega$ y se la llama de "frecuencia." Es decir:

$\displaystyle\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Fácilmente (derivando) se puede llegar a que:

$A\cdot\cos (\omega t+\varphi)$

Es también una solución (la más general.) $A$ se denomina amplitud del movimiento (recordando que el coseno se mueve entre 1 y -1, A indica hastá qué valor llegará la x;) y $\varphi$ se denomina "fase".

Alguien que pudo seguir hasta aquí, ha resuelto la más fundamental de las ecuaciones de la física; es básicamente la que se resuelve cada vez que se plantea un problema de física cuántica, de electromagnetismo, etc. Cuando pueda introducir el concepto de Serie de Taylor, se verá el por qué de la importancia.

En la próxima entrega, resolveré un poco más rigurosamente la ecuación.

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2nov/071

El Movimiento Oscilatorio Armónico Simple

El Movimiento Oscilatorio Armónico Simple (o MAS) se suele enseñar ya en las escuelas secundarias; sin embargo, creo que son muy escasos los ejemplos que se dan (a parte de una masa colgada de un resorte o un péndulo.) Esto es una pena, ya que el MAS se encuentra en la base de muchísimas ramas de la física (de hecho, como estudiantes de física, siempre hacemos bromas al respecto, diciendo que en 3 años de carrera lo único que hicimos hasta ahora es resolver el péndulo.)

Mi propuesta es entonces, resolver el MAS de diferentes formas, para que pueda ser entendible a diferentes niveles, y luego ir mostrando en qué otros lugares se puede aplicar.

Se suele partir del ejemplo de un resorte con una masa en un extremo y el otro unido a una pared que permanece fija en el tiempo. La ley de Hook, fácilmente verificable en cualquier laboratorio básico de física, establece que la fuerza que se ejerce sobre la masa es proporcional al estiramiento (o contracción) del resorte:

$F= -k\cdot x$

Donde en este caso $x$ es el estiramiento y $k$ es la constante que se llama elástica; una mayor constante elástica implicará que el resorte es más duro y viceversa. Recordando la ley de Newton: $F=m\cdot a=m\cdot\ddot{x}$ (notar aquí que $\ddot{x}$ es lo mismo que la aceleración o la segunda derivada) se puede escribir:

$m \ddot{x}=-k\cdot x$

Reordenando un poco los términos se tiene:

$\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}x$

Finalmente se llegó a la parte más importante del problema: la ecuación diferencial. Es una ecuación, porque se tiene una incógnita a despejar ( $x$ ) y diferencial porque está involucrada una derivada (en este caso segunda.)

La solución la dejo para el próximo Post. Lo importante es destacar que el lenguaje que se usa en física, generalmente, es el de las ecuaciones diferenciales. Una vez que se plantea la ecuación correcta, el resto se trata de aplicar los métodos matemáticos (o computacionales) correctos para resolverla.

Por ahora se trata de un ejercicio meramente matemático, pero poco a poco intentaré darle forma para que se "aproxime" más y más a la realidad con la que uno se encuentra todos los días.

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24abr/070

Multar en base a un Teorema

En CPI encontré un divertido artículo sobre cómo funcionan las cámaras fotográficas que multan a los conductores que van a exceso de velocidad.

El que más me llamó la atención y quiero compartir aquí, es un sistema que aplica el teorema de Lagrange (o del Valor medio).

Básicamente lo que se dice es que si entre dos puntos (a y b) la velocidad media (es decir la distancia total recorrida sobre el tiempo total empleado) es superior a la máxima permitida, entonces forzosamente en algún punto del camino se superó la velocidad máxima.

Es decir, bastaría sacar una foto al auto cuando entra a una ruta, autopista o lo que sea, luego le tomamos otra foto a una distancia predeterminada. Si la velocidad media supera la máxima, se le aplica una multa. Con este método se evita que los autos disminuyan su velocidad porque conocen la presencia de una cámara y luego la aumenten el resto del camino, ya que aunque de una forma "matemática" se los está controlando todo el viaje.

Lógicamente la comunidad de abogados, que no entienden nada de matemática, sostiene que no se está multando el hecho de haber excedido la velocidad, porque no se sabe en qué momento se la superó. Se pudo haber entrado y salido del tramo controlado en una velocidad permitida, entonces se desconoce en qué punto se cometió la infracción.

El método no es infalible, alguien que recorre muy rápido una parte, se detiene a tomar un café y sigue, no superaría la velocidad media máxima. Pero en ese caso, ¿qué sentido tiene ir tan rápido si de todas formas no pretende llegar antes?

Yo creo que sería un gran método para autopistas o rutas (especialmente aquí e Argentina, que se tienen caminos de kilómetros y kilómetros de sólo llanura.) El problema es cuánto tiempo nos llevará tener una clase dirigente que aprenda algo de matemática, o que tenga ganas de hacer las cosas como se deben.

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26mar/070

Objetivos de Desarrollo del Milenio de la ONU

Estos son los 8 puntos que la ONU propone sean solucionados para el 2015. Fueron publicados hace ya bastante tiempo, pero viene bien recordarlos de vez en cuando, para ver si se está cumpliendo alguna de las cosas que se propusieron.
Falta poco tiempo, son sólo 8 años.

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23mar/070

Barco que flota “en la nada”

Lindo video de una demostración del principio de Arquímedes "en el aire"...

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