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Estudiando los casos del MAS

Published on 12-09-2008 in Artículos. 1 Comment Tags: , , .

Hace mucho tiempo dejé abandonados una serie de posts sobre el Movimiento Oscilatorio Armónico Simple, pero que ya puede perder le nombre de simple, así que lo llamaré Movimiento Oscilatorio. Todo viene desde este post.

Como vimos, la solución de la ecuación diferencial es:

A e^{\alpha t}

Donde A ya veremos de dónde sale, pero \alpha viene dada por la siguiente fórmula:

\displaystyle \alpha = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-4\omega^2}}{2}

Podemos ver que hay 2 casos posibles bien diferentes: cuando bajo la raíz el número es negativo, es decir que \gamma^2-4\omega^2 < 0 y el contrario, cuando es positivo. Veamos el primero, que generalmente resulta más interesante y es llamado de Sub-Amortiguado. Como el radicando es negativo, podemos escribir el resultado como \alpha = - \gamma \pm i \omega . Es decir que la solución a la ecuación diferencial queda como:

x(t)=Ae^{-\gamma t + i \omega t} + Ae^{-\gamma t - i \omega t}
.

Vemos que aparecen dos casos, que provienen del \pm de la raíz de \alpha . Sacando factor común, nos queda que:

x(t)=Ae^{-\gamma t}(e^{i \omega t}+e^{-i\omega t})

Recordando las propiedades de las exponenciales complejas, nos queda que:
x(t)=Ae^{-\gamma t}(2\cos(\omega t)

El coseno volvió a aparecer, pero esta vez acompañado de una exponencial decreciente. Es por eso que se lo llama sub-amortiguado: el movimiento dejará de existir, pero para tiempo grandes, que hagan a la exponencial lo suficientemente chica como para que la oscilación no sea perceptible. Pueden ver una imagen debajo.

Gráfico del movimiento oscilatorio amortiguado

Gráfico del movimiento oscilatorio amortiguado

El otro caso, donde la raíz es positiva, se los dejo a ustedes, pero no presenta mayores complicaciones. ¿Se preguntaron qué pasa cuando el radicando es exactamente 0? Es un gran problema, porque ahora sólo queda una solución, y como los datos iniciales (de los cuales no hablamos, pero que ya vamos a mencionar) incluyen posición Y velocidad, necesitamos por lo menos dos. Les propongo que consulten los libros de matemática, para ver si a alguien se le ocurrió una solución a esto.

En la próxima entrega (prometo no demorarme tanto) veremos una forma todavía más elegante de resolver la ecuación (y particularmente útil para el resto de la vida) y luego nos centraremos en ejemplos, BASTA DE MATEMÁTICA!

El MAS (3): Resolviendo la ecuación diferencial

Published on 10-11-2007 in Artículos. 0 Comments Tags: , , , , , .

Ya sabemos entonces, que una de las soluciones para la ecuación diferencial \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-\sqrt{\frac{k}{m}}x es A\cos(\omega t+\varphi) . Ahora veremos un modo más “elegante” de deducirla.

Primero, supongamos que se agrega un término más a la ecuación, una fuerza que sea proporcional a la velocidad, pero de sentido opuesto. Este tipo de fuerza es el que típicamente se encuentra cuando se estudia el rozamiento de un fluído (aire, agua, aceite, etc.) con un cuerpo. La ecuación a resolver quedaría, entonces:

\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \frac{k}{m} x

\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \omega^2 x

Sin entrar en detalles, se puede ver que lo más práctico es proponer una solución exponencial, y estar preparados para que las soluciones sean complejas (de esta forma se recupera el coseno de la resolución anterior.) Así que proponemos una solución de la forma x(t)=Ae^{\alpha t} . Si reemplazamos en la ecuación diferencial, lo que obtenemos es:

A\alpha^2 e^{\alpha t} + \gamma A \alpha e^{\alpha t} + \omega A e^{\alpha t} = 0

En esta expresión se puede cancelar el término A e^{\alpha t} por lo que queda lo que se denomina la ecuación característica de la ecuación diferencial:

\alpha^2 + \gamma \alpha + \omega = 0

Lo que se quiere despejar es \alpha lo cual resulta muy sencillo y se obtiene:

\displaystyle \alpha = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-4\omega^2}}{2}

Es fácil ver que se pueden obtener 3 casos: cuando la raíz es un número real, cuando es 0 y cuando es un número imaginario. A estos 3 casos se los denomina: sobreamortiguado, amortiguamiento crítico y subamortiguado. En la próxima entrega estudiaremos cada uno de ellos.

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El MAS (2)

Published on 05-11-2007 in Artículos. 0 Comments Tags: , , , , .

Siguiendo con lo que comencé en la última publicación, este artículo, y los próximos, se centrarán en la resolución de la siguiente ecuación diferencial:

\displaystyle\frac{d^2x}{dx^2}=-\frac{k}{m}x

Hay muchas maneras de encarar esta resolución, la primera es a ojo, para los que saben algo de derivadas; se tiene que pensar en lo que la ecuación está pidiendo: una función tal que si se la deriva dos veces, dá la misma función, cambiada de signo. Se puede pensar en una exponencial del tipo e^{at} (con a alguna constante) pero se ve que al derivar dos veces el signo no cambia (aunque se ponga e^{-at} .)

Pensando un poco más, se llegará a las funciones trigonométricas: el seno y el coseno. Se puede ver que derivando dos veces \cos (at) se obtiene -a^2 \cos(at). Por lo que fácilmente se puede ver que a^2 = k/m .

En general a la constante a se la escribe \omega y se la llama de “frecuencia.” Es decir:

\displaystyle\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Fácilmente (derivando) se puede llegar a que:

A\cdot\cos (\omega t+\varphi)

Es también una solución (la más general.) A se denomina amplitud del movimiento (recordando que el coseno se mueve entre 1 y -1, A indica hastá qué valor llegará la x;) y \varphi se denomina “fase”.

Alguien que pudo seguir hasta aquí, ha resuelto la más fundamental de las ecuaciones de la física; es básicamente la que se resuelve cada vez que se plantea un problema de física cuántica, de electromagnetismo, etc. Cuando pueda introducir el concepto de Serie de Taylor, se verá el por qué de la importancia.

En la próxima entrega, resolveré un poco más rigurosamente la ecuación.

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El Movimiento Oscilatorio Armónico Simple

Published on 02-11-2007 in Artículos. 1 Comment Tags: , , , , .

El Movimiento Oscilatorio Armónico Simple (o MAS) se suele enseñar ya en las escuelas secundarias; sin embargo, creo que son muy escasos los ejemplos que se dan (a parte de una masa colgada de un resorte o un péndulo.) Esto es una pena, ya que el MAS se encuentra en la base de muchísimas ramas de la física (de hecho, como estudiantes de física, siempre hacemos bromas al respecto, diciendo que en 3 años de carrera lo único que hicimos hasta ahora es resolver el péndulo.)

Mi propuesta es entonces, resolver el MAS de diferentes formas, para que pueda ser entendible a diferentes niveles, y luego ir mostrando en qué otros lugares se puede aplicar.

Se suele partir del ejemplo de un resorte con una masa en un extremo y el otro unido a una pared que permanece fija en el tiempo. La ley de Hook, fácilmente verificable en cualquier laboratorio básico de física, establece que la fuerza que se ejerce sobre la masa es proporcional al estiramiento (o contracción) del resorte:

F= -k\cdot x

Donde en este caso x es el estiramiento y k es la constante que se llama elástica; una mayor constante elástica implicará que el resorte es más duro y viceversa. Recordando la ley de Newton: F=m\cdot a=m\cdot\ddot{x} (notar aquí que \ddot{x} es lo mismo que la aceleración o la segunda derivada) se puede escribir:

m \ddot{x}=-k\cdot x

Reordenando un poco los términos se tiene:

\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}x

Finalmente se llegó a la parte más importante del problema: la ecuación diferencial. Es una ecuación, porque se tiene una incógnita a despejar (x ) y diferencial porque está involucrada una derivada (en este caso segunda.)

La solución la dejo para el próximo Post. Lo importante es destacar que el lenguaje que se usa en física, generalmente, es el de las ecuaciones diferenciales. Una vez que se plantea la ecuación correcta, el resto se trata de aplicar los métodos matemáticos (o computacionales) correctos para resolverla.

Por ahora se trata de un ejercicio meramente matemático, pero poco a poco intentaré darle forma para que se “aproxime” más y más a la realidad con la que uno se encuentra todos los días.

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