Sólo Exactas » Péndulo http://soloexactas.com.ar Noticias de Ciencia y Tecnología en Español Fri, 10 Jun 2011 15:12:42 +0000 es hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.2.1 El péndulo de Foucault http://soloexactas.com.ar/2009/03/22/el-pendulo-de-foucault/ http://soloexactas.com.ar/2009/03/22/el-pendulo-de-foucault/#comments Sun, 22 Mar 2009 14:39:25 +0000 Aqui_c http://soloexactas.com.ar/?p=353 Péndulo en la FCEyN - UBA El péndulo de Foucault es un experimento ideado para demostrar la rotación de la Tierra. Fue ideado por Léon Foucalut en 1851 quién lo llevó a cabo en el Observatorio de Paris primero y algunas semanas después en el Pántheon, donde se lo expuso a cualquier que quisiera verlo.

En 1851 ya era bien sabido que la Tierra rotaba, entonces es lícito preguntarse qué tiene de especial el péndulo y yo creo que es su simplicidad. Primero expliquemos cómo funciona.

Al hacer oscilar un péndulo éste se moverá sobre un plano. En general, el movimiento acabará muy rápidamente y no se notará nada extraño, pero si el péndulo es lo suficientemente grande y pesado oscilará durante varias horas (o días con un montaje apropiado) y se notará que el plano de oscilación varía en el tiempo; el movimiento del péndulo está fijo respecto de las estrellas muy distantes, mientras que la Tierra gira, el resultado es evidente.

La velocidad de rotación no es igual en cualquier punto de la Tierra. Por ejemplo, estando en el Polo (norte o sur) el péndulo efectuará una rotación completa cada 24 horas; pero estando en el Ecuador el péndulo siempre mantendrá el mismo plano. En general se tiene que la velocidad angular \alpha está relacionada con la latitud \phi por:

\alpha = 360\,^{\circ} /24h \sin(\phi) .

Así, por ejemplo, en París el plano se mueve 11,15 grados por hora, lo que quiere decir que completa un giro completo cada 32 horas.

Lo que siempre me sorprendió de este experimento es su simplicidad; el movimiento oscilatorio ya era bien conocido y se lo considera un problema resuelto de la física. Entonces es un ejemplo perfecto para mostrar que una vez que se conoce a fondo un aspecto se lo puede aplicar para resolver nuevos problemas. Ya en 1851 había observaciones de la rotación de la Tierra como el achatamiento en los polos, pero el péndulo es el primer experimento dinámico que muestra la rotación de la Tierra.

Para los que están un poco más interesados en las ecuaciones, pueden seguir leyendo este post. Desde el punto de vista de un sistema de coordenadas fijo a la Tierra, tendremos, además de la fuerza gravitacional y la que ejerce el cable que sostiene al péndulo, la fuerza de Coriolis. La primera, en la aproximación de ángulo pequeño puede ser escrita para cada una de las coordenadas x e y como:
F_{gx} = -m\omega^2x
F_{gy} = -m\omega^2y

Mientras que la fuerza de Coriolis puede ser expresada como:
F_{c,x} = 2 m \Omega \dfrac{dy}{dt} \sin(\phi)
F_{c,y} = - 2 m \Omega \dfrac{dx}{dt} \sin(\phi)

Donde \Omega es la velocidad angular de la Tierra. Usando las ecuaciones de Newton para la dirección x e y :

\dfrac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x + 2 \Omega \dfrac{dy}{dt} \sin(\phi)
\dfrac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y - 2 \Omega \dfrac{dx}{dt} \sin(\phi)

Pasando a coordenadas complejas z = x + i y tenemos:

\dfrac{d^2z}{dt^2} + 2i\Omega \dfrac{dz}{dt} \sin(\phi)+\omega^2 z=0

Que a primer orden en \Omega / \omega admite una solución del tipo:
z=e^{-i\Omega \sin(\phi)t}\left(c_1 e^{i\omega t}+c_2 e^{-i\omega t}\right)

Que si medimos el tiempo en días tiene \Omega = 2\pi es decir que el plano de oscilación gira en en un ángulo -2\pi\,\sin(\phi) por día, como se había escrito al principio del post.

Más Información | Péndulo en la FCEN - UBA (Argentina)
Más Información | Wikipedia (Inglés)
Lectura Sugerida | El Péndulo de Foucault - Umberto Eco. Si bien el péndulo en sí es sólo una excusa en el libro, tiene un par de pasajes muy interesantes sobre lo que significa el experimento.

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