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12sep/081

Estudiando los casos del MAS

Hace mucho tiempo dejé abandonados una serie de posts sobre el Movimiento Oscilatorio Armónico Simple, pero que ya puede perder le nombre de simple, así que lo llamaré Movimiento Oscilatorio. Todo viene desde este post.

Como vimos, la solución de la ecuación diferencial es:

$A e^{\alpha t}$

Donde $A$ ya veremos de dónde sale, pero $\alpha$ viene dada por la siguiente fórmula:

$\displaystyle \alpha = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-4\omega^2}}{2}$

Podemos ver que hay 2 casos posibles bien diferentes: cuando bajo la raíz el número es negativo, es decir que $\gamma^2-4\omega^2 < 0$ y el contrario, cuando es positivo. Veamos el primero, que generalmente resulta más interesante y es llamado de Sub-Amortiguado. Como el radicando es negativo, podemos escribir el resultado como $\alpha = - \gamma \pm i \omega$ . Es decir que la solución a la ecuación diferencial queda como:

$x(t)=Ae^{-\gamma t + i \omega t} + Ae^{-\gamma t - i \omega t}$ .

Vemos que aparecen dos casos, que provienen del $\pm$ de la raíz de $\alpha$ . Sacando factor común, nos queda que:

$x(t)=Ae^{-\gamma t}(e^{i \omega t}+e^{-i\omega t})$
Recordando las propiedades de las exponenciales complejas, nos queda que:
$x(t)=Ae^{-\gamma t}(2\cos(\omega t)$

El coseno volvió a aparecer, pero esta vez acompañado de una exponencial decreciente. Es por eso que se lo llama sub-amortiguado: el movimiento dejará de existir, pero para tiempo grandes, que hagan a la exponencial lo suficientemente chica como para que la oscilación no sea perceptible. Pueden ver una imagen debajo.

Gráfico del movimiento oscilatorio amortiguado

El otro caso, donde la raíz es positiva, se los dejo a ustedes, pero no presenta mayores complicaciones. ¿Se preguntaron qué pasa cuando el radicando es exactamente 0? Es un gran problema, porque ahora sólo queda una solución, y como los datos iniciales (de los cuales no hablamos, pero que ya vamos a mencionar) incluyen posición Y velocidad, necesitamos por lo menos dos. Les propongo que consulten los libros de matemática, para ver si a alguien se le ocurrió una solución a esto.

En la próxima entrega (prometo no demorarme tanto) veremos una forma todavía más elegante de resolver la ecuación (y particularmente útil para el resto de la vida) y luego nos centraremos en ejemplos, BASTA DE MATEMÁTICA!

Etiquetado con: Movimiento Oscilatorio, Oscilatorio, subamortiguado 1 Comentario

10nov/070

El MAS (3): Resolviendo la ecuación diferencial

Viene de este artículo

Ya sabemos entonces, que una de las soluciones para la ecuación diferencial $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-\sqrt{\frac{k}{m}}x$ es $A\cos(\omega t+\varphi)$ . Ahora veremos un modo más "elegante" de deducirla.

Primero, supongamos que se agrega un término más a la ecuación, una fuerza que sea proporcional a la velocidad, pero de sentido opuesto. Este tipo de fuerza es el que típicamente se encuentra cuando se estudia el rozamiento de un fluído (aire, agua, aceite, etc.) con un cuerpo. La ecuación a resolver quedaría, entonces:

$\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \frac{k}{m} x$
$\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \omega^2 x$

Sin entrar en detalles, se puede ver que lo más práctico es proponer una solución exponencial, y estar preparados para que las soluciones sean complejas (de esta forma se recupera el coseno de la resolución anterior.) Así que proponemos una solución de la forma $x(t)=Ae^{\alpha t}$ . Si reemplazamos en la ecuación diferencial, lo que obtenemos es:

$A\alpha^2 e^{\alpha t} + \gamma A \alpha e^{\alpha t} + \omega A e^{\alpha t} = 0$

En esta expresión se puede cancelar el término $A e^{\alpha t}$ por lo que queda lo que se denomina la ecuación característica de la ecuación diferencial:

$\alpha^2 + \gamma \alpha + \omega = 0$

Lo que se quiere despejar es $\alpha$ lo cual resulta muy sencillo y se obtiene:

$\displaystyle \alpha = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-4\omega^2}}{2}$

Es fácil ver que se pueden obtener 3 casos: cuando la raíz es un número real, cuando es 0 y cuando es un número imaginario. A estos 3 casos se los denomina: sobreamortiguado, amortiguamiento crítico y subamortiguado. En la próxima entrega estudiaremos cada uno de ellos.

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